パストラーレのひととき

　高校生に、５年ぶりに授業をする。関数描画ソフトGRAPESを生徒が実際に操作しながら、２次関数と２次方程式の関係を学ぶ内容。
　２次関数とｘ軸との交点に２次方程式の解が現れることを復習した後、２次関数y=x^2-4x+kがx軸と「２点で交わる」「接する」「共有点を持たない」の各条件を求めさせる。続いて、２次関数ｙ=x^2と直線y=2x+kと同様の条件を求めさせる。瀬戸大橋の写真を示し、一様の重さを支える吊橋の形状は理論的には放物線になり、構造計算には、ケーブルの接線方向にかかる力を考えることが必要であることを伝え、接線の重要性を示す。
　次に、２次関数y=x^2の(t,t^2)における接線の方程式y=2tx-t^2を求めさせ、それをもとにGRAPESの残像機能を用いて包絡線を描かせる。y=2tx-t^2 をtの２次方程式として捉えさせ、t^2-2tx+y=0　から接する条件D=0を用い、包絡線y=x^2　を求めさせる。「接線の直線群」と、「包絡線」が、２次方程式の判別式を軸として、「双対性」をなすことを伝える。演習として、t^2-xt+y=0 , yt^2-2t+x=0　の包絡線を求めさせる。
　最後に、真っ直ぐな道が地平線に向かって伸び、地平線で交わる情景から、平行線が無限の彼方で交わる「無限遠点」と、地平線上に示される「無限遠直線」を考えることで、新たな数学「射影幾何学」が生まれることを示す。３D－GRAPESで放物線が無限遠直線に接することを示し、２次曲線「双曲線」「放物線」「円・楕円」が無限遠直線と「２点で交わる」「接する」「共有点をもたない」の関係で分類できることを伝え、「判別」の役割の重要性を伝える。
　この内容を扱うのに、４５分という時間はあまりに短かったが、生徒たちに数学の広がりの一端が伝われば、本時の役割は果たせたと考える。　

射影幾何学入門―生物の形態と数学
丹羽 敏雄