「Dimensions」は、数学をコンピュータグラフィックスで表現した映像作品。ステレオグラフ射影から始まり、２次元、３次元、４次元と解説が進む。特に、４次元多面体の映像は創造力を刺激する。また、複素数平面、フラクタル図形、ファイブレーションも見事なグラフィックスで示される。数学の美しさを堪能できる素晴しい作品。
http://www.dimensions-math.org/ のサイトで映像を視聴できる。１０ユーロでより映像の美しいDVDを購入することもできる。また、東京大学に設けられた下記サイトでは、教育機関を対象とするDVD配布の案内が示されている。
高校生や、数学に興味を持つ多くの人に見てほしい映像作品。
「ゼータ関数の自明でない零点の実数部はすべて１／２である。」
「素数に憑かれた人たち」は、数学における最も重要な未解決問題「リーマン予想」について、その内容と、解決に挑んだ人々の姿を描いた書。奇数章には数学の解説が記され、偶数章には背景となる歴史や伝記的な話題が述べられている。
現代数学においても難問であるリーマン予想を、平易に記述し、伝えようとする工夫が素晴しい。数学教育においても、参考になる点が多い。また、数学者が生きた時代背景やエピソードが興味深い。単なる数学の解説書ではない広がりがあり、読み物としても飽きさせない。近現代における数学者の列伝としての側面も持っている。
歴史の縦糸のひとつとして数学が息づいている様を見事に描いた本。
東京大学玉原国際セミナーハウスで、高校生のための現代数学講座２日目が行われる。７月２５日に続き、素数をテーマとした内容。今回は、理数系教員指導力向上研修で参加している教員も加わった。
大学の教授からの講義は、昨日の教員向けとは違い、具体的な数を基に分かりやすく工夫された講義であった。インターネットの情報通信の暗号化に素数が使われる原理が説明された。古代からの研究対象が、現代に繋がる壮大なストーリーに圧倒される。
電卓を用いて合同数を計算し、具体的に暗号化と復号化を体験する演習も行われた。参加した高校生は、難しい数学にも実に熱心に取り組んでいた。感動的なほどのその姿は、高校の教員にとっても刺激になったことであろう。
講義・演習の後に、大学教授と高校教員とで、数学教育についての協議を行った。２日間の講義の中で、教える側も学ぶことを継続しなければならないことを、改めて実感したようだ。
東京大学大学院数理科学研究科の教授の方々は、世界トップレベルの学者であり、自らの研究などでお忙しいところ、多くの時間を割いて準備や講義を行ってくださった。その真摯な姿勢と、誠実なお人柄に感銘を受けた。
理数教育は、学びの場を作る人々の献身的な努力で充実が図られている。
東京大学玉原国際セミナーハウスで、採用３年目の高校数学教員１３名を対象にした理数系教員指導力向上研修が行われる。１日目の７月３０日には、教員が東京大学大学院数理科学研究科の教授の方々から直接講義を受ける。
素数をテーマとして、スピードのある講義で、久しぶりに触れる大学レベルの数学にややついていくのが大変であった様子だが、一流の教授陣から伝えられ、学ぶことの素晴らしさをじっくり体験できた。
午後にはコンピュータを用いて、プログラミングを通して素数を探求する活動も行われる。体験的、問題解決的な授業を組み立てる上で、参考になったことであろう。
東京大学大学院数理科学研究科が主催する「高校生のための現代数学講座」が７月25日より開かれた。群馬県沼田市の玉原国際セミナーハウスで、群馬県内の高校生６０名が参加した。
今年で５年目になる。今年のテーマは「素数」。素数そのものの定義は単純だが、現代数学に繋がる深い内容を持っている。東京大学の先生方が、高校生に分かりやすく説明する。
今日は三つの講義が１時間ずつ行われる。１時間目の講義は、素数の定義から始まり、メルセンヌ数、現在知られている一番大きな素数までと、一気に駆け上がる密度の濃い内容。高校生は実に熱心に聞きノートをとっていた。
２時間目は、数学史もからめた最大公約数を中心とした講義で、含蓄があった。
３時間目は、コンピュータを使った体験的・探求的な実習も行われた。
東京大学の教授の話から直接現代数学の一端に触れ、高校生も刺激を受けたであろう。
「理数教育の充実」では、本物の学問に触れる場面も大いに必要と実感した。
数学者ジョン・ナッシュの半生を描く映画「ビューティフル・マインド」。ラッセル・クロウが、統合失調症に苦しむ数学者をじっくりと演じる。悩みながらも夫を支える妻をジェニファー・コネリーが好演している。
アメリカの大学の懐の深さを感じさせられた作品。アカデミー賞では、作品賞、監督賞、助演女優賞、脚色賞の４部門を受賞。
ビューティフル・マインド [DVD]
エド・ハリス, クリストファー・プラマー, ラッセル・クロウ, ジェニファー・コネリー, ロン・ハワード
中学３年生の図形領域は、相似な図形、三平方の定理を中心とし、極めて内容が濃い。また、二次方程式を利用して解く問題も多く、いままでの数学の知識を総動員する、まとめとしての役割も果たしている。さらに、２点間の距離、円錐の体積など、様々な応用に発展する。それだけに、習熟のために多くの問題にあたることが必要となる箇所であり、また、そこで鍛えた計算手法が高校の数学に直接繋がっていく。
「くもんの中学基礎がため100%中3数学図形編」は、スモール・ステップにより、この密度の濃い単元を乗り越えやすくする工夫がなされている。
長男は、７ヶ月かかってなんとかこの問題集を終えることができた。小学１年のドリルから始め、５年間でようやくここまでたどり着いた。長い道のりであった。すべての問題にあたることで、本人も自信がついたであろう。
問題解決のためには、材料が必要であり、基礎的な訓練はおろそかに出来ない。難しい数学の問題であっても諦めずに考え抜くことで、目に見えない力が培われたことと思う。
高校生に、５年ぶりに授業をする。関数描画ソフトGRAPESを生徒が実際に操作しながら、２次関数と２次方程式の関係を学ぶ内容。
２次関数とｘ軸との交点に２次方程式の解が現れることを復習した後、２次関数y=x^2-4x+kがx軸と「２点で交わる」「接する」「共有点を持たない」の各条件を求めさせる。続いて、２次関数ｙ=x^2と直線y=2x+kと同様の条件を求めさせる。瀬戸大橋の写真を示し、一様の重さを支える吊橋の形状は理論的には放物線になり、構造計算には、ケーブルの接線方向にかかる力を考えることが必要であることを伝え、接線の重要性を示す。
次に、２次関数y=x^2の(t,t^2)における接線の方程式y=2tx-t^2を求めさせ、それをもとにGRAPESの残像機能を用いて包絡線を描かせる。y=2tx-t^2 をtの２次方程式として捉えさせ、t^2-2tx+y=0 から接する条件D=0を用い、包絡線y=x^2 を求めさせる。「接線の直線群」と、「包絡線」が、２次方程式の判別式を軸として、「双対性」をなすことを伝える。演習として、t^2-xt+y=0 , yt^2-2t+x=0 の包絡線を求めさせる。
最後に、真っ直ぐな道が地平線に向かって伸び、地平線で交わる情景から、平行線が無限の彼方で交わる「無限遠点」と、地平線上に示される「無限遠直線」を考えることで、新たな数学「射影幾何学」が生まれることを示す。３D－GRAPESで放物線が無限遠直線に接することを示し、２次曲線「双曲線」「放物線」「円・楕円」が無限遠直線と「２点で交わる」「接する」「共有点をもたない」の関係で分類できることを伝え、「判別」の役割の重要性を伝える。
この内容を扱うのに、４５分という時間はあまりに短かったが、生徒たちに数学の広がりの一端が伝われば、本時の役割は果たせたと考える。
射影幾何学入門―生物の形態と数学
丹羽 敏雄
数学のノーベル賞とも言えるフィールズ賞を受賞した世界的数学者、広中平祐が語る人生論。父母のことや学者との交流などを、飾らない言葉で綴っている。数学の難問に立ち向かう中での様々な学者との出会いや受けた影響の記述は、特に示唆に富んでいる。
生きること学ぶこと (集英社文庫)
広中 平祐
秋の清澄な空気を感じながら、群馬県立尾瀬高等学校を訪れる。教室からの風景は、それ自体が学習対象である「自然」が眼前にせまっている。
尾瀬高等学校は、「自然との共生を図ることのできる人づくり」を目指した学校であり、普通科と自然環境学科で構成されている。特に、自然環境学科はフィールドワークを始めとする体験学習を重視し、体験したことを元に協議する活動が繰り返され、コミュニケーション能力・自己表現力をつけるカリキュラムが組まれている。
普通科においても、自然環境学科の取り組みによる生徒の伸びに刺激を受け、その手法を取り入れる試みがなされている。今回、数学の授業を参観したが、「学び合い」により、生徒が高度な課題に主体的に取り組む姿が見られた。積分の公式が成り立つ理由を、小グループで話し合い、教え合うことにより、全員が理解し、更にその公式を適用できる問題を教科書から見つける展開であった。
目標を明確にし、教師が支援する側にまわることで、生徒が深い理解を得られる授業であった。
自然環境棟という象徴的な施設がある。フィールドワークの前に説明をしたり、事後の発表をしたりするスペースだが、椅子だけで机がない。野外でもメモがとれるように訓練するためとのこと。
小中学生など、他からの見学や交流も頻繁にあるようだ。親しみやすいよう、剥製などが至る所に置いてある。博物館のような趣き。
恵まれた自然環境と前向きな生徒、熱心な指導者と多方面からの支援により、特色ある教育活動を展開し、実績をあげている。
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